Questões de Concurso e Vestibulares: Progressão Geométrica

Estarei postando questões de concursos e de vestibulares, e depois farei suas resoluções.

1. (Assistente Administração - Manaus) Em uma corda de 700 cm de comprimento, foram feitos dois cortes. Sabe-se que os comprimentos dos três pedaçoes em que ela ficou dividida estão em PG (progressão geométrica) e que o menor ficou com 100 cm. Qual o comprimento, em metros, do maior pedaço?
2. (UFRGS - RS) Dada a PG: ...;1;(√(3)-1)/2); (2-√(3)/2); ...., Qual o valor do termo que precede 1?
3. Numa plantação, as árvores são atacadas por uma praga semana após semana. Na primeira semana uma árvore adoeceu, na segunda semana duas, na terceira semana, quatro, e assim sucessivamente, até a décima semana. Quantas árvores adoeceram na décima semana?
4. (Cesgranrio) Qual o número que deve ser subtraído de 1, de 11/8 e de 31/16 para que os resultados formem, nessa ordem, uma PG?
5. Numa PG de 5 termos, o primeiro termo é 1 e o último termo é 4. Qual a razão de uma PG?
6. (UESB - BA) Se (x; x+2; x+1; ...) é uma progressão geométrica, qual o valor do quarto termo?
7. Numa PG, o segundo termo vale 8 e o último termo 5832. Se a razão da PG é 3, quantos termos ela possui?
8. Qual o valor de x na equação:
a) x + x/3 + x/9 + .... = 9
b) x + 4x/5 + 16x/25 + .... = 20
9. (UFRRJ) Uma forte chuva começa a cair na UFRRJ formando uma goteira no teto de uma das salas de aula. Uma primeira gota cai e 30 segundos depois cai uma segunda gota. A chuva se intensifica de tal forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a queda da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo entre as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à metade na medida em que a chuva piora. Se a situação assim se mantiver, em quanto tempo, aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a goteira se transformará em um fio contínuo de água?
10. (UNIFOR - CE) Qual o valor do décimo termo da seqüência: ((1/(√2);(1/2);(√2/4))?

interessante!

8. Qual o valor de x na equação:
a) x + x/3 + x/9 + .... = 9

a_1 = x
a_2 = x/3
q = 1/3
S_n = 9

S_n = a_1/(1 - q)
9 = x/(1 - 1/3)
x = 9(1 - 1/3)
x = 9 - 3
x = 6

7. Numa PG, o segundo termo vale 8 e o último termo 5832. Se a razão da PG é 3, quantos termos ela possui?

a_2 = 8
a_n = 5832
q = 3
n = ?

Inicialmente,
achemos o primeiro termo:
a_2 = a_1 . q
8 = a_1 . 3
a_1 = 8/3


a_n = a_1 . q^(n - 1)
5832 = 8/3 . 3^(n - 1)
3^(n - 1) = 2187
3^(n - 1) = 3^7
n - 1 = 7
n = 8

8. Qual o valor de x na equação:
b) x + 4x/5 + 16x/25 + .... = 20

a_1 = x
a_2 = 4x/5
q = 4/5
S_n = 20


S_n = a_1/(1 - q)

20 = x/(1 - 4/5)
x = 20(1 - 4/5)
x = 20 - 16
x = 4

6. (UESB - BA) Se (x; x+2; x+1; ...) é uma progressão geométrica, qual o valor do quarto termo?

a_1 = x
a_2 = x + 2
a_3 = x + 1
a_4 = ?

q = (x + 2)/x

a_4 = a_1 . q^(n - 1)
a_4 = x . [(x + 2)/x]^3
a_4 = x . (x + 2)³/x³
a_4 = (x + 2)³/x²
a_4 = (x³ + 6x² + 12x + 8 )/x²

5. Numa PG de 5 termos, o primeiro termo é 1 e o último termo é 4. Qual a razão de uma PG?

n = 5
a_1 = 1
a_5 = 4
q = ?


a_n = a_1 . q^(n - 1)

a_5 = 1 . q^(5 - 1)

4 = q^4

q = 4^(1/4)