Esboço de Gráficos - Derivadas

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Esboço de Gráficos - Derivadas

Mensagem por rafaelbrandao em Ter Maio 12, 2009 10:46 pm

Olá, por favor quem pode me ajudar nessa tarefa? É muito importante e de muita urgência.

Vamos lá.

1) Dada a função f(x) = x+2/x-1, determine:

a) O dominio da função.

b)As assíntotas verticais, caso existam.

c)As assítontas oblíquas, caso existam.

d)Os pontos de máximo e mínimo valores, caso existam.

e) Os pontos de inflexão do gráfico de f, caso existam.

f) Os pontos de interseção do gráfico de f com os eixos coordenados.

g) A partir dos dados coletados nos itens anteriores, o esboço gráfico de f.

Meus rascunhos:

Isso, já descobrir que a função não toca o eixo x e que não tem pontos de máximo nem de mínimos quando a derivada f'(x) =0 em f'(x)= -3/(x-2)^2

Quanto a segunda derivada, onde se não me engano encontramos o ponto de inflexão f''(x)=0 em f''(x)= 6/(x-1)^3, acho que também não tem ponto de inflexão.

Estou me esforçando mais não consigo coletar os dados suficientes para esborçar esse gráfico!

Abraços Wink

rafaelbrandao

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Re: Esboço de Gráficos - Derivadas

Mensagem por yeahcarl em Dom Maio 31, 2009 4:50 am

a) o domínio da função é:
D = { x Є R / x ≠ 1}
b) a assíntota vertical é x = 1
c) não existem assíntotas oblíquas
d) f ' (x) = - 3 / (x - 1) 2
f ' (x) = 0 => x não existe
não existem pontos de máximo e mínimo
e) f '' (x) = 0
f '' (x) = 6 / (x - 1) 3
f '' (x) = 0 => não existe
f) para fazer o gráfico, deve fazer-se o estudo do sinal das derivadas primeira e segunda:
1 . Estudo do sinal da derivada primeira:
Sabe-se que (x - 1) 2 desenvolvida resulta em x2 - 2x + 1, que possui duas raízes reais e iguais, e que devido à concavidade da função do segundo grau ser para cima, possui valores positivos para todos os números reais, exceto x = 1, onde zera a função.
E sabe-se que a função constante y = - 3 é negativa para todos os reais.
lembrando-se que a divisão de números de sinais iguais resulta um número positivo e de sinais diferentes resulta em um número negativo: (+)/(+) = (+) e (-)/(-)= (+), e que (+)/(-)=(-) e (-)/(+)=(-)
Portante, os sinais do quociente, entre as funções é:
y1/y2
x y1 = -3y2= (x - 1) 2 y1/y2
x < 1- + - (função decrescente)
x = 1 - 0 não existe (assíntota)
x > 1 - + - (função decrescente)
lembrando que o sinal da derivada indica se a função é crescente ou decrescente, sendo:
+ => crescente
- => decrescente

2. Estudo do sinal da derivada segunda:
Sabe-se que (x - 1) é uma reta com inclinação positiva, ou seja, valores de y< 0 para x < 1 e valores de y > 0 para x > 1, ou usando -se a notação de sinais:
x (x - 1)
x < 1 -
x > 1+
E, como foi dito anteriormente, (x - 1) 2, possui valores positivos para todos os números reais, exceto x = 1, onde zera a função.
Então, para (x - 1) 3, faremos o mesmo raciocíno que para o estudo do sinal da derivada:
x (x - 1) (x - 1)2 (x - 1)3
x < 1 - + -
x = 1 0 0 0
x > 1+ + +
Note-se que a derivada segunda também é um quociente, e que a função constante pela qual é dividida a função é negativa, além de haver uma assíntota vertical em x = 1, pois para esse valor não existe a função.
Portanto, fazendo-se o estudo do sinal da derivada segunda:
x y1 = 6 y2 = (x - 1)3 y1/y2=6/(x - 1)3
x < 1 + - - (concavidade para baixo)
x = 1 + 0 não existe (assíntota vertical)
x > 1+ + + (concavidade para cima)
Podendo-se então fazer o esboço da função com esses dados.
O esboço do gráfico resulta em:

yeahcarl

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